小さい子 = Small kids
[動き回る](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/125040/) = move around
て = and
どこかに行ってしまう = wander off
勝手に = on their own. / as they like. / without asking.
例文が書いてある通り、この三つの例はお互いの代わりに使えます。
Small children just get up and wander off all on their own.
小さい子は勝手にどこかに行ってしまいます。
("Just" と "all" は感情を強調するために使いました。)
He always wanders off on his own and I have to go find him.
彼は[いつも](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32890/)勝手にどこかへ行ってしまうので私が探しに行く必要があります。
Kids just can't sit still and they wonder off wherever they want.
Kids will often go off on their own without asking.
例文１「[子供](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/44764/)はとにかくじっと座ってられなくて、好きなところに行ってしまう。」というニュアンスです。
wander off wherever they want で「勝手にどこかに行ってしまう」というニュアンスを含んでいます。
例文２「子供は[しばしば](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52952/)勝手に自分たちで立ち去る。」というニュアンスです。
without asking は直訳すると「聞かないで」＝「勝手に」となります。
go off は「（突然）立ち去る・逃げる」
ご参考になれば幸いです！
「勝手に」は英語で「on your own」と「as you like」という表現で表すことができます。
「小さい子」→「small children」
「動き回る」→「move around」
「どこかに」→「somewhere」
例文：
「小さい子は勝手に動き回ってどこかに行ってしまいます」→
「Small children move around on their own and end up going somewhere else」
「私のパソコンを勝手に使わないで！」→「Don’t use my computer as you like!」
ご参考になれば幸いです。
英会話講師のKOGACHIです(^^)/
おっしゃられている文脈の「勝手に」ではないですが、
「勝手に」は、文脈によっては、
without my permission
「私の許可なしに」
または
without asking me
「私に尋ねずに」
で表現できることがあります。
例）
He used my computer without my permission.
「彼は私の許可なしに私のコンピューターを使った→勝手に使った」
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
お困りの時は、いつでも気軽にご質問ください(^0^)/
★★どうぞよろしくお願いもうしあげます★★
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