（スラングで）「あいつ何なの！」って英語でなんて言うの？

詳しい状況がわからないのですが、「あいつ何なの！」と不快感や苛立ちを込めて言っていると想定して回答します。

That idiot! で「あのばかやろう！」みたいなニュアンスになります。
「あいつ何なの！」という時にも使えます。
idiot の代わりに
That jerk! 「あの最低な野郎！」
That goof!「あのバカ野郎！」にしても良いです。

また、
What an idiot!
What a jerk!
What a goof!
とも言えます。
jerk は下品でかなり強い言い方になるので、使う相手には気をつけてください。

What the heck! で「何なの！」というニュアンスになります。
What the hell! と言う人もいます。

ご参考になれば幸いです！

「最近どうしてる？」というときに"What's up?"というフレーズが使われますが、"What is up with (someone)?"は「あいつはいったいどうなっているの？」という感じの意味があります。

"What is his/her problem?"はそのままですが、「彼・彼女の問題は何なんだ？」という意味です。

例文："Wow, what is going on here? What is his problem?" （え、いったいどうなってるの？彼は何に対して不満なの？）

おっしゃられている内容は、文脈によっては、以下のようにも表現できると思いました(^_^)
Who does he think he is?
は、直訳すると、「彼は自分を誰だと思っているのか？」ですが、
「あいつ何様のつもりなんだよ！」みたいなニュアンスで使える表現です。

そのような意味で、「アイツ何なの！」と言っているのであれば、この表現が使えます(^_^)

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI