「日付指定便の手配」は arrange a scheduled delivery やschedule a delivery date などという言い方があります。
窓口できいてみるのでしたら
Can you arrange a scheduled delivery?
【訳】日付指定配達はできますか？
Can you deliver this on a certain date?
【訳】決まった日にこれを届けることはできますか？
Can you fix the arriving date?
【訳】到着する日を固定（指定）することはできますか？
などの尋ね方があると思います。
実際に送るのをお願いするタイミングでは、Can you 〜「〜できます？（可能かどうかをきいている）」 よりCould you〜「〜やってもらえます？」という言い方のほうがいいです。
designated date（指定日）を使って言うことができます。
Can you deliver this on a designated date?
日付指定配達をそのまま designated date delivery として使えば
Is a designated date delivery available/possible?
となります。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
Is it possible to deliver this on a certain date?
これを特定の日時に届けることは可能ですか？
Is it possible to ... は「〜することは可能ですか？」という意味の英語表現です。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
