A friend is suggesting that we XX.
友達がXXしようと提案してくれた。
My friend has invited me to XX.
友達がXXしようと招待してくれた。
inviteのほうですと、招待するためになにかを聞かうしたり準備しているニュアンスが含まれます。
一緒に買い物に行くなどとくに準備が必要ない場合、inviteだと意味合いが重すぎることがありますのでsuggest that we go shopping togetherのほうがいいと思います。
この場合、次のような言い方ができますよ。
A: What are you doing for your birthday?
「誕生日は何してるの?」
B: My friend told me he wants to take me to XX.
「友達が私をXXに連れて行きたいと言っている」=「友達がXXに行こうと言ってくれている」
ご参考まで!