I'll check whether there are any open parking spaces.
I'll find out if there's any place left to park in this lot.
英語では、複数の車が駐車できる場所は「parking lot」で、一台の場所は「parking space」と言います。「lot」は「土地」という意味で、普通は一軒の建物建てる。一つの地主(人か会社)の場所で、その周りにその地主が持っていない土地です。
意味的に「vacancy」は悪くないですが、駐車所の場合ではあまり使われていません。「an opening (in this parking lot)」や「an open parking space」とは一番人気がある言い方だと思います。
I'll check to see if there are any parking spots available.
I'll check to see if there are any empty parking spots.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI'll check to see if there are any parking spots available.
「駐車場の空きがあるか見てきます」
ーI'll check to see if there are any empty parking spots.
「駐車場の空きがあるか見てきます」
vacancy は通常ホテルなどの部屋に使うので、駐車場の場合はこのように言うと良いでしょう。
ご参考まで!