〜日までいっぱいって英語でなんて言うの？

どちらも「８月１３日まで予定がいっぱいです。」という言い方です。
full で「いっぱいの・いっぱいで」
be booked up で「予約/予定でいっぱいになっている」

このほか、
I don't have any openings until August 13th.
「８月１３日まで（予定に）空きがない。」
とも言えます。

ご参考になれば幸いです！