Please start eating before everyone at your table is served.
You don't have to wait for everyone to be served.
「出来上がった人からどんどん食べてください。」は、
”Please start eating before everyone at your table is served.”
「テーブルにいる他の人の食べ物が来る前に食べ始めていいですよ。」
”You don't have to wait for everyone to be served.”
「みんなの食べ物が来るのを待たないでいいですよ。」
と言ったり出来ます。
"Please start eating before the ramen noodles go soggy."
「ラーメンが伸びる前に食べ始めてください。」
”soggy”は、「ふやける」という意味です。
ご参考になれば幸いです。
Please start eating as soon as your dish is ready.
例えば Please start eating as soon as your dish is ready. このフレーズを使えば、ラーメンが伸びないように早めに食べることを促せます。
他の表現としては、
Enjoy your meal as soon as it's served.
Please begin eating once your food is ready.
役に立ちそうな単語とフレーズ：
start eating 食べ始める
as soon as ～するとすぐに
dish 料理、食べ物
ready 出来上がった
日本 
アメリカ合衆国 
