質問者様のシチュエーションで「[厳密](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/73827/)に言えば」を英語にすると、「To be exact」や「To be precise」が良いかと思います。
Precise は正確性の事です。
なので、厳密に言えば、「[正確](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/64764/)に言うと」の方に近いですが、ほとんど同じだと思います。
例：I've been attending school since last year. June, to be precise.
この場合の「厳密にいえば」は、to be exactと表現できます。
exactには「[正確な](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52466/)」「[ちょうど](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36706/)の」という意味があります。
下記は口語での表現です。
I started my school last year, in June to be exact.（去年学校に行き始めたの、厳密には6月ね）
次のように英語で表現することができます。
・to be exact
「厳密に言うと」という意味になります。
例：
It starts in a few weeks. In two weeks and three days, to be exact.
数週間後に始まります。厳密に言うと、2週間と3日後です。
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