❶ I’d like to ask your for your full support and backup.
(是非とも全面的なサポートとバックアップをお願いしたいです)。
I’d like your full support and backup.
(あなたの全面的なサポートとバックアップをお願いします)。
I’d like to ask your for your full support and backup on this upcoming project.
(是非とも今度のプロジェクトに対する全面的なサポートとバックアップをお願いしたいです)
Support とBack up 意味はほぼ同じですが、若干気持ちのニュアンスがちがいます。supportは、無事に終わるまで常に支え、助けることです。
back up は 第二手段、つまり予定していた何かがうまくいかなかった場合のサポートです。ピンチの時のサパートです。
参考にしてください。
We would be very happy to have your total support for this project.
We would like to ask you for your full support for this project.
ご質問ありがとうございます。
他の回答にもあるように、「バックアップ」はPlan Aが上手く行かなかった場合、Plan Bとして起動するものなので、この場合は*support*と言う方が誤解を生まないかもしれません。
「全面的」を*total support*、又は*full support*と訳しました。
① の We would be very happy... はより丁寧にサポートをお願いするフレーズですが、② の We would like to ask for... は直接サポートをお願いしている表現です。
ご参考までに。
アメリカ合衆国 
