「他の日にしましょう」は、
"Let's meet another day."
"Let's try some other time."
と言ったり出来ます。
”another"は、単数名詞と一緒に使います。日本語の「別の」という感じです。「他の日にしましょう」の他の日もある特定の日のことを指しているので、"another”を使います。
一方、”other"は、複数名詞や数えられない名詞と一緒に使います。例えば、”time"は数えられない名詞なので、"some other time"と言います。
ex): "I go out with another friend." 「別の（一人の）友達と出かける。」
"I go out with other friends." 「他の（複数の）友達と出かける。」
ご参考になれば幸いです。
「他の」は、英語で "another" や "separate" と言えます。この2つの英単語は「別の」を指します。
例：
I'm busy today, so is it ok go out on another day?「今日はちょっと忙しいから、他の日でも大丈夫ですか？」
I don't want to watch the same movie. Let's watch another one. 「また同じ映画を見たくないよ。他の映画を見ましょう。」
Because of the rain, we'll have to postpone to a separate day. 「雨のせいで、他の日に延期します。」
another はan+otherで「もう１つの〜」という意味で覚えることが多いので混乱すると思いますが、「別の〜」と考えておく方がわかりやすいかもしれません。
「今日ではない別のどれかの日にしましょう」と「他の」選択肢がたくさんあるので、Let's do it another day.という言い方になります。
otherはtheが入ると「もう片方の」という２択の時に使えます。例えば15日か16日にしようと事前に決めていたとして、15日がダメになったという場合「もう片方の日にしましょう」という意味で、Let's do it the other day.になります。
しかし、例えば The other days are OK.「他の日（それ以外の日）は大丈夫です」とは言いますが、Another day is OK. とは言いません。anotherは選択肢はたくさんあっても必ずそのうちの１つであって、複数ではないのです。ややこしいですよね…伝われば幸いです。
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