●Cold-like symptoms turned into a full-blown cold.
「風邪のような症状が本格的な風邪になった。」
cold-like symptoms→風邪のような症状
turn into→○○に変わる、○○になる
a full-blown cold→本格的な風邪
●I came down with a bad cold.
「酷い風邪になってしまった。」
come down with→○○にかかる（病気）
a bad cold→酷い風邪
例文の「先週風邪っぽくて無視してたら、昨日本格的な風になったんだよね」は、次のように表現することも出来ます↴
●I felt like I was coming down with a cold last week, but I didn't pay much attention to it. （先週、風邪っぽいなと思ったんだけど、特に気にしていなかった。）I started feeling worse since yesterday. （昨日から益々具合が悪くなり始めた。）
Hope you feel better soon!
お大事になさってください！
少しでもお役に立てれば幸いです。
日本 
