物語が進むって英語でなんて言うの？

"The story continues."
「物語が進む」直接の翻訳です。"story"は「物語」で、"to continue"は「続く・進む」という意味です。

ドラマの後によく見えるのは"To be continued."です。それは「続く」と同じです。
もしドラマが終わるなら、"The end."となります。

参考になれば幸いです。