Would you like me to fill in the form on your behalf?
Would you like me to fill in the form on your behalf?（私が代わりに書きましょうか？）
on your behalfは、「～の代わりに」という意味です。
書類に記入するという意味でfill inとしています。
Do you want me to write your name and address for you?（名前と住所を書きましょうか？）
こちらはよりカジュアルな質問です。
書くのを手伝う表示は "Can I write it for you?" という短くて簡単な表現で良いでしょう。ここで "Can I" は「私が～しても良いですか？」という意味し、"write it" は「～（それ）を書く」となり、"for you" は「あなたの代わりに」「あなたのために」という意味になります。
関連語：
Can I: 私が～してもいい？
Write it: それを書く
For you: あなたのために
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