無理矢理は「force」（力づくで）です。
例文：
- He forced me to eat（無理矢理食べさせられた）
しかしながら、質問者様の場合ですと、無理矢理入れてもらったのではなく、「何とか」入れてもらったのだと思います。
この場合、英語で無理矢理直訳したら、変に聞こえます（He forced me into his schedule ー これはデタラメな英語です）。
正しいのは「The dentist fit me in somehow」です。
「歯医者さんは、何とかスケジュールに入れてくれました」と言う意味です。
I asked my dentist to squeeze me in at some point between his schedule.
squeeze 人 in は「無理やり誰か（と会う約束）をスケジュールに割り込ませる」という、イディオムです。みっちりと予定が詰まっているスケジュールであるにもかかわらず、わざわざほかの予定と予定の間をこじ開けて、そこに入れたい予定をねじ込める、というイメージでつかんでもらえると覚えやすいと思います。
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