「ボランティアの募集が始まった」って英語でなんて言うの？

"Applications for volunteers are now open. " は一般的な言い方です！

オリンピックのボランティアに特筆して書くならば、
"I saw an announcement on TV that said applications for volunteering for the 2020 Tokyo Olympics are now open!"
と言えます！

Volunteer recruitment begins for Tokyo 2020.
東京2020オリンピックのボランティアの募集が始まった。

2020年のオリンピックが東京で行われますので、Tokyo 2020だけで誰でもわかるはずです。
ボランティアはそのままvolunteerです。
募集はrecruitmentで大丈夫です。

ご参考までに

こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：

・started accepting volunteer applications
ボランティアの応募を受け付け始めた

application は「申請」という意味の英語表現です。

例：
They have started accepting volunteer applications for the Tokyo Olympics.
東京オリンピックのボランティア募集が始まりました。

ぜひ参考にしてください。