文法書をみるとEveryone has their own dream.が正解で、Anyone has their own dream.は間違いと書かれていました。なぜでしょうか。また「だれでも無料でこの文書をダウンロードできる。」は Anyone can download the document for free.が正解とありましたが、なぜこの場合はAnyoneは使えるのでしょうか。
「だれもが自分の夢を持っている」は"Everyone has their dreams. "で大丈夫です。
ownとは「自分の」の意味ですが、この文章の場合は書かなくても良いです。
Everyone has their dreams. は一般的な表現ですのでよろしければ使ってみてください。
ご参考になれば幸いです。