「矛盾」は名詞として使う時に a contradiction と言います。「矛盾する」も to contradict になりますが、contradict を強いて使うように 「 X contradicts Y 」もしくは 「X and Y contradict」 という表現でならなければなりません。それに、ちょっと硬い単語です。
そして、to make sense という動詞を使いました。to make sense は理屈に合う・理にかなうという意味です。「矛盾する」は「理にかなう」と反対の意味なので、to make sense を否定文にして「矛盾する」の意味になります。to make sense はかなり通常な表現なので、一番自然だと思います。
「何が矛盾しているかというと」という表現は "what doesn't make sense is..." で、that を入れて「矛盾していること」の文章が繋がります。
まとめると、「なにが矛盾してるかっていうと、私は勉強が好きじゃないし、努力するのも苦手なんだ」は英語で What doesn't make sense is that I don't like studying and that I'm not good at making a lot of effort. です。