私にはもう一つ名前の候補があったって英語でなんて言うの？

この場合「候補」という単語は「idea」で表すと良いでしょう。 上記の例で両親は私の名前に他の案、つまり候補があったという意味になります。 また〜の部分にその候補だった名前を入れて 〜 was another idea for my name.　（〜は私のもう一つの名前の候補だった）といえます。

Proposition は少し堅いのでこの場合の候補は suggestion が良いでしょう。 もう一つ は one other や another （後者の方がよく使われてます）。 「自分の名前の候補がもう一つあった。それは○○です。私は○○の方が良かった。響きが良いから。」 "There was another suggestion for my own name. It was _ _. I preferred _ _. It sounds better." など