weep は悲しみに暮れて泣くという感じでしょうか。ですのでこの場合は使えません。
cry は声を出して泣くという意味もありますが、この場合にも使うことができます。
It was so painful I started crying. 「あまりの痛みに涙が出てきた。」
または
1) It was so painful tears started flowing.
「あまりの痛みに涙が出てきた。」
2) It hurt so bad my eyes started watering.
「あまりの痛みに涙が出てきた。」
my eyes welled up と言うと「涙が目に溜まる」=「涙目になる」と言えます。
ご参考になれば幸いです!