痛くて涙が出たって英語でなんて言うの？

①痛すぎて涙目になった。
teared up 涙目のことです。

②痛みのせいで涙が数滴でた。
shed a few tears は直訳で少し泣いたみたいな言い方です。少しドラマチックな言い方かもしれないですね。

weep は悲しみに暮れて泣くという感じでしょうか。ですのでこの場合は使えません。
cry は声を出して泣くという意味もありますが、この場合にも使うことができます。
It was so painful I started crying. 「あまりの痛みに涙が出てきた。」

または
1) It was so painful tears started flowing.
「あまりの痛みに涙が出てきた。」

2) It hurt so bad my eyes started watering.
「あまりの痛みに涙が出てきた。」

my eyes welled up と言うと「涙が目に溜まる」＝「涙目になる」と言えます。

ご参考になれば幸いです！