できるだけ早くって英語でなんて言うの？

"At your earliest convenience" ="as soon as possible." のフォーマルイディオム（formal idiom)になります＝なるべく早くお願いします〜という意味です。

E-mailで使えるのが：

例　Please fill in the form and send it back to me at your earliest convenience.
用紙に記入して、できるだけ私に早く送ってください。（フォーマルで丁寧にできるだけ早く〜と言っている）

Thank you

ご参考になれば幸いです

できるだけ早く：

① as soon as possible - 丁寧な言い方、仕事でもどこでも使えます。

② as soon as you can - ちょっとカジュアル、友達に使える

③ ASAP - as soon as possibleの略だけど、私はあまりオススメしません。使う人多いけど、なんとなくちょっとイライラしているように感じます。

最初の例は「できるかぎり早く」の意でさらに「ASAP」とも略して使えますが略した方はくだけた言い方、「早く！」と言ってるのと同義なので職場などではあまり使わずちゃんと言った方が好ましいかと。二番目の例は「（あなたが）できるだけ早く」になります。最後の例は「早いほど良い」と少し相手を急かす感じの言い回しになります。

丁寧にしたいなら、緊急を強調しないようにしたほうがいい。さらに、頼みがあるように話します。
例えば:
Could you try to do it as soon as possible?
I'd like to ask you to try to complete it as quickly as you can.

仕事の場面では　as soon as possible を使って良いともいます。
友達同士でも使えますし、asap でも使えます。
例えば　Let me know asap if you're free on my birthday ＝　誕生日の日時間が空いてたらできるだけ早く教えて。
ビジネスシーンでは　Please return the files as soon as possible. = ファイルをできるだけ早く返して下さい。