"At your earliest convenience" ="as soon as possible." のフォーマルイディオム（formal idiom)になります＝[なるべく早く](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/58539/)お願いします〜という意味です。
E-mailで使えるのが：
例 Please fill in the form and send it back to me at your earliest convenience.
用紙に記入して、できるだけ私に[早く](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/50206/)送ってください。（フォーマルで丁寧にできるだけ早く〜と言っている）
Thank you
ご参考になれば幸いです
[できるだけ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/53464/)早く：
① as soon as possible - 丁寧な言い方、仕事でもどこでも使えます。
② as soon as you can - ちょっとカジュアル、友達に使える
③ ASAP - as soon as possibleの略だけど、私はあまりオススメしません。使う人多いけど、なんとなくちょっと[イライラ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42199/)しているように感じます。
丁寧にしたいなら、緊急を強調しないようにしたほうがいい。さらに、頼みがあるように話します。
例えば:
Could you try to do it as soon as possible?
I'd like to ask you to try to complete it as quickly as you can.
仕事の場面では as soon as possible を使って良いともいます。
友達同士でも使えますし、asap でも使えます。
例えば Let me know asap if you're free on my birthday ＝ 誕生日の日時間が空いてたらできるだけ早く教えて。
ビジネスシーンでは Please return the files as soon as possible. = ファイルをできるだけ早く返して下さい。
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