「明日の自分」 me tomorrow
は「今日の自分」 me today
よりよくなる（頑張る・身が入る）to be better than
だろう。is going ~
Me tomorrow is going to be better than me today.
動詞を入れ替えた他の言い方は
Me tomorrow is going to work harder than me today.
「I'm counting on myself tomorrow」が近い表現となります。"Counting on"は、「〜に期待する」という意味を持ち、通常は他人に使うフレーズですが、この場合は自分自身に使っています。
「明日の自分は今日の自分よりも頑張ってくれるだろう」を表現するなら、「I believe I'll do better tomorrow than I did today」や「I’m hopeful that I can do better tomorrow」のように表現できます。
アメリカ合衆国 
