Don't worry, we'll take care of it. / we'll handle the rest!
We'll take care of the rest!
NORIKOさん、こんにちは。
「取り扱いはこちらにお任せください」の一般的な英訳は "Please let us handle it (for you)"
又は "Please let us take care of it (for you)" になります。
この場面の自然な言い方にすると、"Don't worry..." を追加しますと、「心配しないで。。。」と言う優しい意味合いが付けられます。
"We'll take care of the rest!" / "We'll handle the rest!" は直訳しますと 「続きはこちらにお任せください」になります。「ここまで持ってくれてありがとう、この後の取り扱いはこちらにお任せください」と言うニュアンスになります。
the rest = 残り（の手続き）
ご参考になれば幸いです。
例文と翻訳:
1. "Please leave the handling of this to us."
「取り扱いはこちらにお任せください。」
2. "You can trust us to decide how to handle the donated books."
「寄贈された本の取り扱いについては、私たちにお任せください。」
3. "We will determine whether to add the donated books to our collection or place them in the community reuse corner."
「寄贈された本を蔵書に加えるか、市民のリユースコーナーに置くかを私たちが判断します。」
4. "Feel free to donate your books, and we will take care of the rest."
「本を寄贈していただければ、あとは私たちが対応します。」
アメリカ合衆国 
