コーチって英語でなんて言うの？

既出ですが「コーチ」は英語のcoachがそのままカタカナになったものです。
ニュアンス的にどちらも同じような感じです。

ただ、個人的な経験から申しますと、私はアメリカで野球をやっていましたが、監督のこともcoachと皆呼んでいました。

厳密にはmanagerが監督を表しますが、これは実際にはプロのチームなど大きな組織・チームを率いる人というニュアンスで、少年野球や中学高校のクラブくらいであればcoachくらいの方が馴染みやすいものです。

ラグビーやアメフトなどではよくありますが、複数の指導者がいる場合には、head coachと呼んで区別することもあります。

ご参考になれば幸いです。

「コーチ」はそのままcoachです。
スポーツでの「監督」は、managerです。
Managerは日本語にある「マネージャー」の語源ですが、日本の部活などにいる「マネージャー」は外国でみかけたことがありません。少なくてもアメリカにはありません。

チームや部活などを指導するひとは　coach でよいですね。「コーチする」のように動詞としても使えます。

イギリスでは、バスや電車の車両の事もこう呼びます。

英語職人

「コーチ」は、英語で coach や trainer と言います。2つの英単語は「スポーツのコーチ」を指します。しかし、coach は一番使うと思います。

例文：
This is my soccer coach. 「こちらは私のサッカーコーチです。」

We always get good advice from the coach 「コーチからいつも良いアドバイスをもらう。」

コーチは英語でcoachと言います。 。
「監督」はそのチームに数名のコーチがいる場合は、Head coach と言います。
チームに指導者が一人しかいない場合は coach　と言います。

例文を挙げておきます。
1. He is a high school football coach.
彼は高校のアメフトのコーチをしている

2. They hired a new basketball coach.
   彼らは新たにバスケのコーチを雇った

参考にしてみてください