私は誰に提出すればいいですか? って英語でなんて言うの？

be supposed to～「～することになっている」という表現もよく「～すべき」とか「～しなければならない」のようなニュアンスで使われます。

Who am I supposed to give this to?
「これを誰に提出することになっているのですか？」→「これを誰に提出すればいいですか？」

ご参考になれば幸いです。

提出は submit ですが渡すって意味で give と
言うのも可能です。
この場合の this は診断書のことを指します。

「私は誰にこの診断書を提出すればいいですか? 」
"Who should I give this medical certificate to?" など