家の中でサービスを提供するお店って英語でなんて言うの？

不思議でしょう。in your homeなのに「out of your home」と言います！なぜ「out of」というと、家からみんなにサービスを「出す」という考え方です。家だけではなく他の場所でも言えます：

He's running a business out of a camper trailer.
キャンピングトレーラーで事業を経営しています。

He's running a restaurant out of an office building basement.
彼はオフィスビルの地下で事業を経営しています。

英語で「private」というなら自分だけが使うサロンなどという意味になってしまいます。