「即興」という名詞自体はimprovisationです。
文で、「即興で何かするように求められた」とかなら、
I was asked to perform something on the spot.
とか言い表せばよいと思います。
on the spotが「即興で、その場で」という意味の副詞句です(^^♪
英語で即興との言葉を普段「improvisation」と言います。また「ad lib」とも言えますが、「ad lib」の方がよくテレビ番組やドラマ、または劇で自分の台詞を忘れて即興をするとの状況で使います。
「例文」
He is truly a professional actor. Even if he forgets his lines he can improvise and continue the shoot.
彼は本当にプロ役者です。台詞を忘れても問題なく即興して撮影を続けられます。
即興は英語で improvisation と言います。その場で考えて、演技するという意味です。それにかんして話したいなら、例えば I have no idea what to do during improvisation （即興で何をすればいいか分らない）や I'm confused about what to do during improvisation （即興で何をすればいいか分らなく、困っています）
ご参考になれば幸いです。
「即興」は improvisation と言います。
「即興の」は improvised
「即興で〜する」は improvise ~ と言います。
They are known for their beings able to improvise songs.
「彼らは即興で歌を歌えることで知られている」
My friend is good with improvised magic tricks and at performing them at any given time.
「私の友達は与えられた時間でマジックを即興で披露するのが得意だ」
Improvise～＝「～を即興で行う」動詞
In trouble＝「困る、困った状態に陥る」
I was in trouble when I was asked to improvise something.
「私は即興で何かやるように頼まれたとき、本当に困りました」
I had to improvise a speech at the meeting.
「私はその会議で、即興でスピーチをしなければならなかった」
Impromptu～＝「即興の～」形容詞
He made an impromptu speech and it was impressive.
「彼は即興のスピーチを行ったが、それはとても感動的だった」
ご参考まで
日本 
ラトビア 
アメリカ合衆国 
ミャンマー 
