うちの犬は動物病院に連れて行くと別キャラになるって英語でなんて言うの？

動物病院 - vets
~~に連れて行く - take to the ~~
Take to the vets
犬は動物病院に連れて行く - take our dog to the vets
犬は家族だから “our”といいます。家族の犬だから人のものじゃない。

キャラ - characterだけどこの場合”personality (性格)”の方が良い。

犬のキャラ - dogs personality
別キャラ - personality changes, different personality

He completely changes - 完全に変わってる、超変わる

緊張する - gets nervous, becomes nervous

When I take my dog to the hospital, he/she acts totally different than usual.
うちの犬は、私が病院に連れて行くと、いつもとは全く違う立ち振る舞い方をします。

日本語で書くと固く聞こえますが、「いつもと違う行動をする」「いつもと違うキャラになる」というような意味合いになります。

I think he/she is nervous.
緊張しているんだと思います。