（責任に）押し潰されそうって英語でなんて言うの？

押しつぶされることは「Overwhelmed」と言います。
負荷がありすぎることです。

質問者様の例文だと：
- I feel overwhelmed by the pressures and deadlines of work
- I feel overwhelmed by the weight of responsibility

他にも：
- The responsibility is overwhelming

おっしゃられている内容は、以下のように表現できると思いました(^_^)
例）
I was overwhelmed by pressure at work.
「仕事のプレッシャーに押しつぶされてしまった」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)