ご質問ありがとうございます。
先に:first
お先に:I apologize for going first
チェックイン:check in (受付)
手続き:process
〜の手続きをする:to go through the 〜 process.
例:先にシャワーして出るわ!I'm gonna shower first then leave.
ご参考にしていただければ幸いです。
1) We'll do the process of checking in first.
これは直訳ですが、「手続きをする」は何かのプロセスをするという意味ですね。
この場合ですと、"We'll check in first." (まず、チェックインをします。)の方が自然ですね。
例文2:
First, we'll finish checking in. (If you pre-checked in before arriving).
まず、チェックインを終了します(着いた前にちょっとチェックインした場合)。
例文3:
Before doing anything else, let's get checked in.
他に何かする前に、チェックインしましょう。
お役に立てれば幸いです!