That doesn’t make me want to → 「～したい気分にならない」「～するのが嫌になる」などの意味です。
speakとtalk aboutの二通りを挙げましたが、speakは単に「話す」「しゃべる」といういみで、talk aboutは何か特定なトピック（事前に出てきた点）について「話す」「相談する」という意味です。
「英語を話す」の「話す」はspeakです。
「昨日の事について話してよ」のような場合の「話す」はtalk aboutです。
When someone puts me on the spot like this, I don't know what to say.
When people say that to me, it makes it harder to speak English.
When someone asks me to speak English, it makes it more difficult.
「話しづらい」理由が、例えばネイティブのようにペラペラだけど何を話して良いのかわからなくて話しづらいのか、それともネイティブほどではないので話しづらいのかによって言い方が異なってきます。
＜ペラペラだけど何を話して良いのかわからない場合＞
1) When someone puts me on the spot like this, I don't know what to say.
「そんな風に質問されると、なんと言って良いかわからないよ。」
put someone on the spot で「質問などで人を困らせる」
I don't know what to say の代わりに I can't think of anything to say.「何も言うことを思いつかない」とも言えます。
＜ネイティブほどではないので話しづらい場合＞
2) When people say that to me, it makes it harder to speak English.
「そう言われると英語を話しづらいよ。」
makes it harder to ~ で「〜するのがもっと難しくなる」
3) When someone asks me to speak English, it makes it more difficult.
「英語を話してと言われると、もっと（話すのが）難しくなるよ。」
makes it more difficult でも「もっと難しくなる」という言い方ができます。
ご参考になれば幸いです！
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