Like the plum blossoms that burst forth, announcing the coming of spring after a harsh, cold winter.
May we all achieve great success, like the plum blossoms that burst forth, announcing/proclaiming the coming of spring after a harsh, cold winter.
総理大臣の言葉を英語に訳すなら、一つの文章の方が自然かな、と思いました。
厳しい寒さ:the harsh coldではなく、英語でa harsh winter/a long, harsh winter/a harsh, cold winterとよく言います。
春の訪れを告げる (...) 梅の花:announceやproclaimは大体人が何かを言う・言葉で伝える時に使いますが、書き言葉(詩など)でよく動植物が季節・気候のことを告げる時に使います。
咲き誇る:咲くは普通にblossomという訳語になりますが、blossomという単語を既に使いましたので「誇る」をイメージするエネルギッシュなburst forthと訳しました。英語で硬い表現や書き言葉だと、できるだけ様々な単語を使ったほうがいいです。