術後、ガーゼが鼻の中にパンパンに詰めてあって息苦しい。って英語でなんて言うの？

そのままの訳になります。

術後、ガーゼが鼻の中にパンパンに詰めてあって息苦しい。
They leave the gauze inside your nose after the procedure so it's difficult to breath.

術後
after the procedure
直訳すれば post operation ですが、これはどちらかと言えば専門用語に近い感じなので、伝わらなくはないですが、もっと軽く言った感じが after the procedure になるかと思います。

procedure は英和を見ると、手順などと言う訳し方が多いかと思いますが、医療行為という風に訳すこともできます。

ガーゼはそのまま gauze ですが、発音がガーゼではなく、がーずという発音になります。

息がしにくい
difficult to breath

こんな訳し方でどうでしょう？

お役に立てれば幸いです！