「大人になる」は "become an adult" と直訳できます。過去形の場合、「大人になった」は "became an adult" と言います。
もしからだだけではなく、精神的にも「大人になる」を伝えたい場合、"mature" という言葉を使います。"mature" は「考え方は大人っぽい」を指します。
例えば、"He matured when he was in high school." 「彼は高校生のとき、成熟しました。」
Compared to his friends, he matured earlier. 「彼は彼の友達と比べたら、もっと早く成熟した。」
become a grown-up, not just physically, but mentally
ご質問ありがとうございます。
フレーズで表す英訳を書きました。
例文:"My son has become a grown-up, not just physically, but mentally."=「私の息子は大人になりました。身体的だけではなく、精神的にも。」
☆ "grown-up" = "adult"
("grown-up"の方が若干カジュアルなニュアンスが "adult" よりもあります。)
ご参考になると幸いです。