I caught a cold. That's why we didn't go on a family trip.
We didn't go on a family trip because I caught a cold.
そのせいで、というのは理由を表していますね。
becauseを使うか、That's whyを使うといいと思います。That's whyは会話でもよく使います。
例：
I caught a cold. That's why we didn't go on a family trip.
私は風邪をひきました。そのせいで家族旅行に行きませんでした。
この文のように理由を先に述べておいて、次の文の先頭にThat's why＋文という形で使います。
I had to cancel the trip with my family because I had a cold.
The train was delayed due to heavy rain.
I have to wear formal suits because of the dress code.
そのせいで→because を用いて 〜のために、〜のせいで（〜しないといけなくなった）と表現したり、もしくは、because of ~(名詞）〜のために。
また、due to ~のせいで、おかげで、と文面によっていくつか異なった表現ができます^ ^
1)’私が風邪をひいたせいで、家族との旅行をキャンセルしないといけなかった‘
because なぜなら→〜のせいで
2）‘電車は大雨のため（せいで）遅れた‘
due to ~のために、〜の理由で（できなかった）
3）‘ドレスコードがあるためにフォーマルなスーツを着ないといけない‘
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