そのせいでって英語でなんて言うの？

そのせいで、というのは理由を表していますね。

becauseを使うか、That's whyを使うといいと思います。That's whyは会話でもよく使います。

例：
I caught a cold. That's why we didn't go on a family trip.
私は風邪をひきました。そのせいで家族旅行に行きませんでした。

この文のように理由を先に述べておいて、次の文の先頭にThat's why＋文という形で使います。

そのせいで→because を用いて　〜のために、〜のせいで（〜しないといけなくなった）と表現したり、もしくは、because of ~(名詞）〜のために。
また、due to ~のせいで、おかげで、と文面によっていくつか異なった表現ができます^ ^

1)’私が風邪をひいたせいで、家族との旅行をキャンセルしないといけなかった‘
because なぜなら→〜のせいで

2）‘電車は大雨のため（せいで）遅れた‘
due to ~のために、〜の理由で（できなかった）

3）‘ドレスコードがあるためにフォーマルなスーツを着ないといけない‘