I hope I'll be like him when I become as old as him.
これはそのままでいいのではないでしょうか。
~を望むという意味の hope、『彼のようになりたい』という意味のI'll be like him 『年をとったら』のwhen I get older. あるいは『彼と同じくらいの歳になったら』という意味のwhen I become as old as him などを使えばよいでしょう。
これをhopeのかわりにwishを使うと
（I wish I could be like him when I get older.)
彼のようになりたいけれど、なれないだろう という感じになります。
願望の「〜したい」はwish, hopeの方がwantよりも、気持ち的に遠い距離間を感じています。wantを使うのであれば「〜してみたい」「〜(将来の職業)になりたい」など、自分が実際にできるだろうと思っている時に使い、対してwishやhopeは、自分にはできないかもしれないけどしてみたいという、切実さだったり憧れの感情が加わります。
そして肝心の「〜になる」は結果のto不定詞を使います。受験英語をしてきた方なら覚えている方もいるかと思いますが、結果のto不定詞はand Vで書き換えられるものです。当然「〜になる」なのでbeで十分です。
beとbecomeの違いについてですが、becomeは状態変化を表す動詞ですのでニュアンスが違います。使い方は、He became a teacher last year.など、過去のある時点で教師でない状態から教師であるという状態に変化したことを表していますよね。beはもっと安定したイメージですので、上記の例ですと「将来どういうおじいさんでいるか」という話ですので、beを使います。日本語のままで考えると難しいですよね。
日本 
