始まったね！終わったね！(ゲーセンのゲームや乗り物)って英語でなんて言うの？

It started! 始まったね！
It's finished! 終わったね！

分かりにくいのですが、 It（乗り物など）そのものが start したので、ここに is は入りませんが、It is finished. で「物事が終了した」ことになるので、こちらはisが入ります。

他の例を挙げるなら

It's moving! 動いてるね！
It's over! 終わったね。

overも「過ぎてしまった」という意味で終わりの状態を指します。