大切な家族って英語でなんて言うの？

presious (形)：貴重な

preciousが一番familyと合う単語だと思います。
importantだと、主観的な重要というよりは客観的な重要というニュアンスになってしまいます。

eg1
it is important to have lunch every day.
毎日昼食を食べることは重要です。

また、loving family : 愛しの家族といってもいいでしょう

参考になれば幸いです。

一番目の"my one and only family"とは「私のたった一つの家族」というふうに訳せます。
この"my one and only~"は他の単語を入れても使えます："My one and only dog" （私の大切な犬）"My one and only house"（私の大切な家）

二番目の"irreplaceable family"とは「かけがえのない家族」という意味です。

例文："I am working hard for my one and only family."

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば以下のような英語表現はいかがでしょうか：

I work hard every day for my precious family.
大切な家族のために毎日頑張って働いています。

以下は「大切な人」の意味でよく使われる英語表現です。

loved ones - 大切な人たち（家族など）
precious … - 大切な
dearest … - 大切な

ぜひ参考にしてください。