お金に糸目をつけないって英語でなんて言うの？

「金に糸目をつけない」の英語圏での一般的な訳です。直訳すると、お金は問題ではない、という意味です。どうしてもしたいと思っていることなどを述べてから、この表現を使うことができます。

また、～するのにいかなるコストも支払う、ということになると、上でご紹介くださっているように、
～at any cost.
というと、お金に糸目をつけずに～する、という意味を一文で表すことができますね。

文の最後に置いて、「どんなにお金をかけても... 」という意味になります。

名詞のCostには「何かを得る、買うために支払われる対価」という意味があります。決して金銭だけでなく労力などもcostの意味合いに含まれるため、at any costというイディオムは「何が何でも」といった意味でもよく使われます。

例文
I want her back at any cost.
何が何でも彼女とよりを戻したい。

一つ目は
「それがどんなに高かろうが気にしない。構わない」
2つ目は
「それのためにたくさんのお金を喜んで払う」
の意味です。

no matter how は「たとえどんなに～でも」の意味。
例）　no matter how big「どんなに大きくても」

be willing to Vは「自ら進んでVする、Vすることを厭わない」の意味。

ご参考になれば幸いです(^_^)