頭の中を整理するためによく紙に考えなどを書き出すって英語でなんて言うの？

書き出す　は write だけでもいいですが、書き留めるという意味のwrite down （あるいはput down）をよく使います。

考え　は thought(s), idea, notionなどです。

整理する　は こういった場合は、organize（考えなどを系統立てる・まとめる・整理する）が良いかと思います。

アイディアを出したり問題を解決するために、グループで個人の意見や考えを自由に出し合うことをbrainstormingと言います。
アメリカでは大学の授業などでもよく聞く言葉です。

Why don't we have a brainstorming session?
（ブレインストーミングをしましょう＝みんなで意見を出し合いましょう）

ご参考まで！