子供が欲しがる物を全て買い与えて甘やかすって英語でなんて言うの？

甘やかすという表現は、spoilやpamper、indulgeです。
（カジュアル→フォーマルの順となっています。）

上記の文の３番目の文が、そのままズバリ書いていますので、満足されるかとは思いますが、
１番目の文、２番めの文もよく使われる英語らしい文です。

deny nothing　で『何も拒否しない→なんでも欲しい物は与える」

allow 人 anything they want『欲しがるものは何でも許す）

buying anything they want 『彼らの欲しがるものは何でも買って』

ですので、『彼女は子供の欲しがる物を全て買い与えて甘やかす』は
She spoils her children denying nothing.
She pampers her children allowing anything they want.
She indulges her children buying anything they want.
となります。

「①　Spoil children / kids」は決まり文句で、「子供の好き勝手に物を買ってあげる」という意味です。

関連している言葉は「spoilt brat」。いわゆる、「わがままなガキ」です。親がなんでも買ってあげるから、非常にわがままで生意気な子を示します。

ジュリアン