招待制のパーティーって英語でなんて言うの？

そのまま「招待制のパーティー」の意味です。

因みに招待状は「invitation」となります。

例
I'm going to an invite only party hosted by the government(body/organ).

なんとなく漠然とした憧れがありますよね。

さて訳には「招待する」という意の"invitation"の変化形である"invitational"を用いましょう。日本語でも「インビテーション」とちょっとおしゃれな場面で耳にすることありますよね。
なおよりストレートに意味を説明するなら
"This party is for invited people only"
などと表現するといいでしょう。これはどちらかといえばお断りを入れる際の文言でしょうが。