We'll call the names in the order that are written on the list.
「この順番でお呼びします」を英語にしたら、"We'll call in this order" と言います。よかったら、リストを見せながら、こういう英文を使うことができます。
もう少しきちんと伝えたい場合、"We'll call the names in the order that are written on the list."と言えます。「(名前は)このリストに書かれている順にお呼びします。」