単語としては finger snap や finger snapping だと思います。
snapは「パチンと打つ」、「パタンと閉める」「パンと撃つ」など広く使うことができる言葉です。
文章にするときには以下のような形で使われます。
He snapped his finger.
彼は指をパチンとした。
This is how you snap your fingers.
これが指の鳴らし方だ。
「指パッチン」は英語で「finger snapping」です。外国の方は上手だと思いますが海外でできない方に会ったことはあります。「finger」を除いて「snap」だけでも使えます。「snap」は擬声語なので指パッチンすると「snap」と言う音が出ます。
子供が指パッチンの練習をしていました
My kids have been practicing finger snapping.
Snap は英語で動詞としても名詞としても使われます。普通の数えられる名詞です。(snap -> snaps) 動詞の方がよく使われていますが、アベンジャーズ•インフィニティ•ウォーという映画でサノスの成功した計画は the snap とよく聞かれます。
Don't snap your fingers at me. I'm not a dog.
私に指をパチンとするな。犬なんかじゃない。
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