質問者様の英語はほぼ完璧だと思いますが、一つ言うとしたら「Only」が抜けている事です。
「〜のみ」のニュアンスは「Only」や「Just」と言う単語を用いる事で得られます。
したがって、僕が提案した英語は「Pets are allowed (only dogs and cats)」になります。
また、もし付け加えるとしたら（例えば、トカゲ、昆虫、へびなど）、以下のような文書になります：
- Pets are allowed (only dogs, snakes, insects, snakes and cats)
もし逆に、禁止の動物（例えば鹿のみ禁止）があるなら、次のような表現が可能です：
- Pets are allowed except for deers
You are only allowed to have dogs and/or cats in our apartment.
The only pets we allow in our building are cats and dogs.
Taishiさんの分で間違いないですよ！
１つだけ言うと「犬と猫のみ」と書かれていたので、only を足させていただきました。
1) You are only allowed to have dogs and/or cats in our apartment.
「当アパートでは犬と猫（犬または猫）のみ可能です。」
only を足すことで「…のみ・…だけ」という意味を持たせることができます。
2) The only pets we allow in our building are cats and dogs.
「当建物で許可されているペットは猫と犬のみです。」
このように pets を主語として言うこともできます。
ご参考になれば幸いです！
"The only pets that are allowed are cats and dogs"
If you were talking about an apartment and you want to state that pets are allowed, but only cats and dogs. You could say either of the following: "Cats and dogs are allowed" or "Pets are allowed (only cats and dogs)" or "The only pets that are allowed are cats and dogs".
アパートの規則について「ペットを飼うことはできるが、犬と猫だけ」と言いたいということですね。次のように表せます。
"Cats and dogs are allowed"→猫と犬は飼うことができます。
"Pets are allowed (only cats and dogs)"→ペットを飼うことができます（猫と犬のみ）
"The only pets that are allowed are cats and dogs"→飼うことができるのは猫と犬だけです。
In this case, you have to specify the exact pet that is allowed, or you can say, "Pets are allowed(dogs and cats). With this statement, we infer that only dogs and cats are allowed.
この場合、どのペットが許されるのか明示する必要があります。あるいは、"Pets are allowed (dogs and cats)."（ペット可（犬と猫））、 これでも「犬と猫のみ飼うことが許される」と伝わります。
The only pets that are permitted on the property are cats and dogs.
Residents are only permitted to have either cats or dogs as pets.
1. The only pets that are permitted on the property are cats
and dogs.
2. Residents are only permitted to have either cats or dogs as pets.
Permitted means allowed.This means that the body
corporate, which is a group that manages the apartment
building, have included a clause in the lease agreement
which expressly/clearly states that no other pets are allowed
on the property apart from cats and dogs.
1. The only pets that are permitted on the property are cats and dogs.（認められているペットは猫と犬だけです）
2. Residents are only permitted to have either cats or dogs as pets.（飼うことが認められているのは猫と犬だけです）
"Permitted" は「認められている／許可されている」という意味です。これは「アパートの賃貸契約に『犬猫以外のペットは認めない』という条項がある」という意味です。
In our apartment, we only allow cats and dogs, no other pets are allowed.
We allow our guests to have pets within our apartment, however, we only allow Cats and Dogs.
"In our apartment, we only allow cats and dogs, no other pets are allowed." In his context, you can either relay this message in person or within your apartment's policy online or on paper.
"We allow our guests to have pets within our apartment, however, we only allow Cats and Dogs." In his context, imagine you are responding to someone who asked about your apartment's pet policy, you are reassuring the person that you are accommodating to pets but only Cats and Dogs.
"In our apartment, we only allow cats and dogs, no other pets are allowed."（このアパートでは、ペットは犬と猫のみ認められています。他のペットは不可です）
これは口頭はもちろん、インターネットや文書で伝えるときにも使うことができます。
"We allow our guests to have pets within our apartment, however, we only allow Cats and Dogs."（このアパートではペットは犬と猫のみ認められています）
これは、アパートの規則について質問されたときに使うことができます。
The only pets that are permitted are cats and dogs.
No pets are allowed except cats and dogs.
The express that cats and dogs are the only pets allowed in the apartment, you can say:-
1. The only pets that are permitted are cats and dogs.
2. No pets are allowed in the apartment except cats and dogs.
This statement means that no pets are allowed in the apartment apart from cats and dogs.
The word "permitted" means the same as "allowed".They both mean to give someone the sanction or right to do something.
「このアパートで飼うことができるペットは犬と猫だけ」は、次のように言えます。
1. The only pets that are permitted are cats and dogs.（飼うことができるペットは犬と猫だけです）
2. No pets are allowed in the apartment except cats and dogs.
この文は「このアパートでは犬と猫以外のペットを飼うことはできません」という意味です。
"permitted" は "allowed" と同じ意味です、「許す／許可を与える」と表します。
The only pets we allow in our apartment are cats and dogs
Cats and dogs are allowed but not other animals
Allow means admit as legal or acceptable. In other words, you are allowing (giving permission) to have pets in the apartment. Both of the sentences can be used because they have the same meaning.
With the exception of cats and dogs, no pets are permitted
When talking about an apartment, you want to say that pets are allowed, but only cats and dogs. In this scenario, any of the above suggested example sentences may fit your case.
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