何をしに来たの、何をしに行くのって英語でなんて言うの？

What are you up to? は、「今何してるの？」というカジュアルな表現です。

What are you going there for? は「何しにそこへ行くの？」（「これから」という近い未来なら will より be going to の方が自然です）

あるいは略して What for?「何のために？」とも言えます。

こんにちは！

What brings you here? はとてもよく聞く表現なので、ばっちりだと思いますよ！

例：
Erik: Amy!! What brings you here??
エイミー！どうしたの、なんでここにいるの？
Amy: I'm traveling around Japan with my boyfriend!
彼氏と日本旅行にきてるの！

Doctor: Hi, what brings you here today?
こんにちは。今日はどうしました？
Erik: My head's been hurting for the last week.
この一週間ずっと頭が痛いんです。

「何をしに行くの？」は What will you go there for? でも問題なく伝わります。僕だったら What are you going there for? のような言い方をすると思います。ぜひ参考にしてください。

最後にフォーマルな「何をしにいらしているのですか？」に関してですが、What brings you here で充分だと思いますよ。英語ではスラングとかを使わない限り誰に対しても同じような表現ができる便利が言語なので（もちろん丁寧な言い方とそうでないものはありますが）。それでももしより丁寧に言いたいのであれば May I ask what brings you here?（何をしにいらしているのか伺っても良いですか？）のような言い方もできます。

Aiさんの回答に加えて参考になれば幸いです！

What brings you here?
何をしに来たのですか？、なんでここにいるのですか？

What are you going there for?
何をしに行くのですか？、なんでそこに行くのですか？

上記のように英語で表現することもできます。

お役に立てればうれしいです。
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