早めに食べてねって英語でなんて言うの？

had betterで～したほうがよいという提案の表現が使えます。
as early as possibleはできるだけ早くという意味です。as ~ as possible の～に形容詞を入れることでできるだけ～という表現が作れます
例　I have to submit the assignment as soon as possible.
私はその課題をできるだけ早く提出しなければならない。
make sure to ~で～するように、というニュアンスです。
expire　期限が切れる
例Make sure to eat it before it expires,
賞味期限が切れる前に食べるようにしてね。

一つ目は悪くなる前に早めに食べてね、と言う意味です。
二つ目は単純に早く召し上がってくださいね、
三つ目は、口語では使わないかもしれませんが、英語で食品に消費期限が表示される場合は、Best (consumed) before という風に表現されます。