会社指定のホテル、旅行会社指定のホテルって英語でなんて言うの？

この場合の「指定」は yuriさんのおっしゃる通り、designated や specified を使って言うと良いでしょう。

hotel designated by my company で「私の会社指定のホテル」

hotel specified by a travel agency で「旅行会社指定のホテル」

When I'm on a business trip, I have to stay at a hotel designated by my company.
「出張の時は、会社指定のホテルに泊まらなければいけない。」

ご参考になれば幸いです！

「会社指定のホテル」や「旅行会社指定のホテル」は、それぞれ "Company-designated hotel" や "Travel agency-designated hotel" と表現するのが自然です。

• "Company-designated hotel" は「会社が指定したホテル」という意味になります。"Company" は「会社」、"designated" は「指定された」、そして "hotel" は「ホテル」です。

• 同様に、"Travel agency-designated hotel" は「旅行会社が指定したホテル」を意味します。"Travel agency" は「旅行会社」、"designated" は「指定された」、"hotel" は「ホテル」です。