「身柄引受け人になる」という意味の英語になります。
「身元引受人」だと、surety, sponsor などがあります。
surety「保証してあげる人」借金の保証人という場合によく使います。
sponsor 「サポートしてあげる人」という意味合いがあります。
ちなみにアメリカだと警察署で一晩でもお世話になったらほとんどの場合、出るためにはお金（保釈金）を払うことになります。英語ではbail out と言います。
I bailed my friend out of jail.
「保釈金を払って友人を留置場（拘置所）から出した」
警察で友人を留置所から出すための書類（身柄受けの書類）を書きました。
I signed a paper at the police station to get my friend out of the jail.
日本の身柄請書はおそらくアメリカにはないので上記のような英語にしました。
アメリカ合衆国 
