1) I became better at ballet than before.
(前よりバレーが上手くなりました)
I became better at〜 = 〜がより上手になった
than before = 前より
2) I became a better ballerina than before.
(前よりも上達したバレリーナになりました)
こちらはバレエと言うよりかは自分がバレリーナとして上達したという言い方です。
3) I improved as a ballerina than before.
(私はバレリーナとして前よりも上達しました)
2番目と似ていますが、improved(上達した)という単語を使ってます。get better at~と意味は変わりません。as a ballerina =バレリーナとして。となります。
ご参考に!