"この前提の下で"は「under these premises」となりますね。"前提"は他にも「presupposition」（予想、仮定）や「prerequisite」（必要条件、前もって必要な～）とも表現できます。
例
・You're being hired for working under these premises（あなたはこの条件下で働く事を前提として雇われます）
・Taking this class is a prerequisite for earning your certification（資格を得るにはこのクラスを受けるのが必要条件です。）
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